Algebra laat leerlingen echt een stap zetten in abstract denken

In het gebouw klinkt een ritme. Ik ga erop af. Het zijn klappende handen. Spaanse flamenco? Ik probeer het patroon te snappen. Valt nog niet mee. Het komt al dichterbij, ik ben er bijna. Doe de deur open. Twee groepen leerlingen brengen de klanken voort, en bewegen mee. Dit moet muziekles zijn. Nog niet duidelijk wat er nu gebeurt qua klappen. Maar per groep is het niet ingewikkeld en soms komt alles samen. Wonderlijk. Ik kijk naar het bord. Er staat KGV. Muzikale afkorting waarschijnlijk. Ja, kleinste gemene veelvoud, maar dit is duidelijk geen wiskunde. Of toch? Ik zie nu ook de getallen 4, 5 en 20 op het bord. Ineens valt het kwartje.

Klappen op de tafels van 4 en 5 geeft samenkomst op 20

Niet dat het precies zo is gegaan, mijn entree als periodedocent wiskunde bij Waldorf, maar het had gekund. Aantrekking, verwondering, intuïtie. Hier gebeurt iets bijzonders, hier moet ik zijn. De eerste periode begint vooral met aftasten. Wie zijn deze kinderen, wat kunnen ze, wat hebben ze nodig? Uitdaging bieden, toepassingen, samenwerking, ruimte voor eigen activiteit. ‘Hoofd, hart en handen’. Niet volgens een script vooraf, eerder juist het tegenovergestelde.

Het onderwerp is algebra. We doen balspellen, lopen buiten over de denkbeeldige getallenlijn en oefenen veel met sommen. Ik vertel over mijn andere werk, in het internationale waterbeheer, en hoe wiskunde daar een rol speelt. De leerlingen maken daarna zelf een verhaal over een beroep wat ze leuk lijkt en waar je wiskunde bij nodig hebt. Bakker bijvoorbeeld. Misschien wel omdat we toevallig net een broodbakmix hebben gemaakt en gecontroleerd waarom het weegapparaat negatieve getallen laat zien als je het bakblik ervan af haalt. Over negatieve getallen gesproken, je ziet ook wel eens twee mintekens achter elkaar. Hoe zit dat? Ik vraag: ‘Wie wil er niet niet op deze tafel klimmen?’ Verbazing alom, daarna pretoogjes. Na applaus voor de vrijwilliger: ‘Dat ging niet onverdienstelijk, toch?’

Zoektocht

De vrijheid om lessen zelf te bedenken betekent ook zoeken. De zoektocht zit hem vooral in de opvallend grote verscheidenheid aan kinderen. Sommigen gaan helemaal mee in de verhalen om de lesstof heen. Of hebben behoefte aan voorbeelden, analogieën. Leven zich uit in een prachtig periodeschrift, vol met kleur en tekeningen. Anderen willen liefst meters maken, gewoon, de ene som na de andere, zonder opsmuk. Er zijn leerlingen die moeite hebben met concentratie en variatie nodig hebben in activiteit. Best een puzzel, temeer omdat algebra met zich meebrengt dat leerlingen echt een stap zetten in abstract denken. Over dat laatste: tot waar geef ik voorbeelden vanuit de wereld om ons heen en wanneer moet een oplossing duidelijk zijn vanuit de wiskunde zelf? Een voorbeeld: bij het rekenen met letters schrijf je het product van 2 en a als 2a en niet als 2 x a zoals op de lagere school. Als leerlingen voor het eerst 2a op het bord zien staan is dat spannend, zoiets hebben ze nog nooit gezien. Maar het valt mee en is eigenlijk leuk: je zegt toch ook 2 auto’s en niet 2 keer een auto? De som 2a + 2a gaat er dan ook direct in: 4 auto’s. Lastiger wordt het al om 2a keer 2a uit te rekenen. Een voorbeeld is minder makkelijk te vinden. En moet misschien ook niet, want vanuit de wiskunde zelf is het goed te doen als je je even concentreert op wat er staat en wat je inmiddels weet. Hierin schuilt ook de pracht van de wiskunde: je drukt een vraagstuk uit in een vergelijking, lost die op en ontdekt dat de oplossing werkt in de echte wereld. Tijdens het oplossen beperk je je tot de abstracties van het wiskundige universum en zit je dus echt in een andere wereld. Oké. Klinkt mooi, maar kan ik dat al verwachten van 12 en 13-jarigen in klas 7? Ik vond de respons in de klas opmerkelijk goed, ook voorbij de voorbeelden, maar vroeg me af of de stof nu ook echt geland was. Enige houvast kwam kortgeleden tijdens een uitwisseling van een groep leraren over wiskundeonderwijs binnen de vrijeschool. Jan Steenbruggen (ex-SVS Zeist) presenteerde daar een tijdslijn van ontwikkelingsstadia van het kind volgens antroposofisch mensbeeld. Dat beeld gaat er onder meer van uit dat het (intellectuele) denken begint rond het 14e jaar. Leerlingen in klas 7 zijn nog iets jonger, maar de eerste stappen in abstract denken kunnen al gerust met ze gezet worden, begrijp ik. Heel goed.

TEKST & BEELD JASPER VAN DER WERFF TEN BOSCH – wiskundedocent – Waldorf Utrecht